G* =  = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

    EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

Na mecânica quântica, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que se localiza dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes.

Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula se move em uma linha reta a uma velocidade constante até que rebate em uma das paredes. Ao rebater, a velocidade é alterada apenas na componente perpendicular à parede, que troca de sinal; o módulo da velocidade não se altera. Uma das soluções possíveis é uma partícula absolutamente estacionária, ou seja, com velocidade zero.

O problema se torna muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica quântica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. Entretanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida.

Descrição quântica do problema

O problema pode apresentar-se em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, ainda que o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, se representa por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa se define como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (ou seja, sua energia potencial é constante, ainda que sem perda de generalidade podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em termos de potenciais nos permite usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.

Contudo, se a análise deste problema fosse sob as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo; a probabilidade de se encontrar a partícula estaria diretamente relacionada ao tempo que a mesma percorre uma distância L. Com isso, infere-se que a probabilidade de se encontrar a partícula é igual em toda a caixa.

Já na mecânica quântica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa em cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível fazê-lo. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos o mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Postulados da mecânica quântica

Antes de se discutir sobre a partícula na caixa, é importante saber que para se resolver este problema, os conceitos e as aplicações dos postulados da mecânica quântica.

1º Postulado: a função de onda ${\displaystyle \Longrightarrow }$ A função de onda contém toda as informações para determinar o estado de um sistema. Por isso, ela tem que ser unívoca, contínua e de derivadas contínuas.

2º Postulado: operadores ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Para toda e qualquer observável física há um operador linear e hermitiano.

• Teorema 1:os autovalores do operador hermitiano são reais.

• Teorema 2: as autofunções de um operador hermitiano são ortogonais.

3º Postulado: valores de observáveis ${\displaystyle \Longrightarrow }$ os valores possíveis a ser obtidos por medidas de uma propriedade física observável ${\displaystyle C}$, são os autovalores ${\displaystyle ci}$ da equação de autovalor ${\displaystyle {\widehat {C}}fi=cifi}$ , em que ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ é o operador que corresponde à propriedade observável ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle fi}$ são as autofunções do operador ${\displaystyle {\widehat {C}}}$.

4º Postulado: valor médio ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Sendo ${\displaystyle \psi (x,t)}$ uma função de estado do sistema normalizada, logo o valor médio da observável ${\displaystyle C}$ no tempo é: ${\displaystyle \langle {\hat {C\rangle }}=\int \psi *{\widehat {C}}\psi dt}$ 

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

5º Postulado: evolução temporal ${\displaystyle \Longrightarrow }$ O estado de um sistema quântico não perturbado tem sua evolução temporal dada por: ${\displaystyle -{\cfrac {\hbar }{i}}{\cfrac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}\psi }$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Caixa unidimensional

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma caixa unidimensional, na qual a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários, é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:

${\displaystyle -{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)}$ [1]

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Considerando que o potencial infinito fora da caixa (regiões I e III), o que anula a função de onda, tem-se:

${\displaystyle \psi (x)={\cfrac {1}{\infty -E}}{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \psi I=\psi III=0}$

em que

${\displaystyle \hbar }$ é a Constante reduzida de Planck,

${\displaystyle m\,}$ é a massa da partícula,

${\displaystyle \psi \left(x\right)\,}$ é a função de onda estacionária independente do tempo^[1] que queremos obter (funções próprias) e

${\displaystyle E\,}$ é a energia da partícula (valor próprio).

Para o interior da caixa, região II, em que o potencial é zero, tem-se:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Visando garantir o primeiro postulado da mecânica quântica, a função de onda, quando ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=L}$, tem que ser igual a ${\displaystyle 0}$. Obedecendo às seguintes condições de contorno:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\psi I=\lim _{x\to 0}\psi II}$

${\displaystyle \lim _{x\to L}\psi II=\lim _{x\to L}\psi III}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

As funções próprias e valores próprios de uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional de comprimento L são:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{com}}\ n=1,2,3,...}$

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Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Nota-se que só são possíveis os níveis de energia quantizados. Além disso, como n não pode ser zero (pois isso implicaria em uma descontinuidade da função e, assim, violando o 1º postulado), o menor valor da energia tampouco pode sê-lo. Essa energia mínima se chama energia do ponto zero e se justifica em termos do princípio de incerteza. Devido à restrição da partícula em mover-se em uma região finita, a variância da posição tem um limite superior (o comprimento da caixa, ${\displaystyle L}$). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a variância do momento da partícula não pode ser zero e, portanto, a partícula deve ter uma certa quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

Em física, termodinâmica, química, físico-química e física da matéria condensada, um ponto crítico, também chamado de estado crítico, ocorre sob condições (tais como valores específicos de temperatura, pressão ou composição) no qual não existem limites de fase. Existem vários tipos de pontos críticos, incluindo pontos críticos líquido-vapor e líquido-líquido.^[1][2]

Substâncias puras: ponto crítico líquido-vapor

O "ponto crítico" é por vezes usado para denotar o ponto especificamente vapor-líquido crítico de um material, a partir do qual a distinção entre fase a líquida e gasosa não existe.

O ponto crítico de vapor-líquido em um diagrama de fases pressão-temperatura está no extremo de alta temperatura do limite de fase líquido-gás. A linha pontilhada verde mostra o comportamento anômalo da água.^[3]

Como se mostra no diagrama de fases para a direita, isto é o ponto em que a fronteira entre a fase líquida e gasosa termina. Em água, o ponto crítico ocorre em cerca de 647 K. (374 ° C; 705 ° F) e 22,064 MPa (218 atm)

À medida que a substância se aproxima da temperatura crítica, as propriedades da sua fases gasosa e líquida convergem, resultando em apenas uma fase no ponto crítico: um fluido supercrítico homogêneo. O calor de vaporização é zero no ponto crítico e para além dele, por isso não existe distinção entre as duas fases. No diagrama de Pressão-temperatura, o ponto em que a temperatura crítica e pressão crítica satisfazer é chamado de ponto crítico da substância. Acima da temperatura crítica, um líquido não pode ser formada por um aumento da pressão, apesar de um sólido poder ser formado sob uma pressão suficiente. A pressão crítica é a pressão de vapor, à temperatura crítica. O volume crítico é o volume molar de uma mole do material a uma temperatura e pressão críticas.

Propriedades críticas variam de material para material, e para muitas substâncias puras estão prontamente disponíveis na literatura. No entanto, a obtenção de propriedades críticas para misturas é mais desafiador.

Definição matemática

No caso das substâncias puras, há um ponto de inflexão na curva isotérmica crítica (linha de temperatura constante) com um diagrama de Pressão-Volume. Isto significa que, no ponto crítico: ^[4][5][6]

${\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial V^{2}}}\right)_{T}=0}$ 

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Isto é, as primeira e segunda derivadas parciais da pressão p no que diz respeito ao volume V são ambos zero, com as derivadas parciais avaliados em temperatura constante T. Esta relação pode ser usada para avaliar dois parâmetros de uma equação de estado em termos das propriedades críticas, tais como os parâmetros a e b na equação de van der Waals.^[4]

Às vezes um conjunto de propriedades reduzidas é definida em termos das propriedades importantes, isto é:^[7]

${\displaystyle T_{r}=T/T_{c}\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle p_{r}=p/p_{c}\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle V_{r}={\frac {V}{RT_{c}/p_{c}}}\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle T_{c}=8a/27Rb,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle V_{c}=3b\,}$

${\displaystyle P_{c}=a/27b^{2},}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle T_{r}}$ é a temperatura reduzida, ${\displaystyle p_{r}}$ é a pressão reduzida, ${\displaystyle V_{r}}$ é a redução do volume, e ${\displaystyle R}$ é a constante universal dos gases.

História

A existência de um ponto crítico foi descoberto pela primeira vez por Charles Cagniard de la Tour em 1822^[8] [9] e nomeado por Thomas Andrews, em 1869.^[10] Ele mostrou que o CO2 poderia ser liquefeito a 31 ° C a uma pressão de 73 atm, mas não a uma temperatura ligeiramente mais elevada, mesmo sob uma pressão muito mais elevada (até 3,000 atm).

O ponto de fusão designa a temperatura à qual uma substância passa do estado sólido ao estado líquido. Eis abaixo uma breve lista dos elementos químicos e seus respectivos pontos de fusão.

Elementos químicos em ordem crescente do ponto de fusão 

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Ponto de ebulição 

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  =